15/03/2023 - Processos Estocásticos

Programa do curso

1. Revisão: Teoria de Probabilidades
2. Cadeias de Markov (em tempo discreto)
3. Processos de Poisson
4. Cadeias de Markov (em tempo contínuo)
5. Simulação Estocástica

Revisão: Teoria de Probabilidade

1. Eventos & Probabilidade

O que é probabilidade?

Uma definição informal:

a)Frequência relativa

Ex suponha que tems n moedas, a fração do resultado dos lançamentos será 1/2, conforme n->∞

b) Crença pessoal Subjetiva

2. Breve Revisão Teoria de Conjuntos

Definição: Uma coleção de elementos

2.1 Diagrama de Venn

Representação de Conjuntos por uma região fechada

2.2 Operações de Conjuntos

Definição: operações que utilizam um ou mais conjuntos cujo resultado é um conjunto

• União: Conjunto resultante contém os elementos que estejam em pelo menos um dos conjuntos
• Intersecção: Conjunto resultante contém os elementos que estejam em ambos os conjuntos
• Complemento: Conjunto resultante comtém os elementos do espaço amostral que não estejam no conjunto

Probabilidades

Objetivo: Atribuir probabilidades a certos tipos de eventos

Def(Eventos): Um subconjunto do espaço amostral

Def(Probabilidades): A probabilidade de um evento ocorrer é escrita como Pr{A}, e ela satisfas os seguintes axiomas

1. 0 = Pr{Null} <= Pr{A} <= Pr{Om} = 1
2. Se A1, A2, ..., An forem conjuntos dijuntos, Pr{U(n,i=1)Ai} = Sum[n,]

Variáveis Aleatórias

Def. informal: Variáveis que tomam valores ao acaso

Def. formal: Uma função do espaço amostral cuja imagem pertence aos Reais (ou pode ser representada pelos Reais)

Range: Conjunto dos valores possíveis de X

Tipos de Variáveis Aleatórias:

• Discretas
• Contínuas

2.1. Variáveis Aleatórias Discretas

X é discreto se Pr for um conjunto contável

Um conjunto A é contável se:

• A é finito
• Se seus elementos podem ser colocados em correspondência com os Naturais

2.1.1. Função Massa de Probabilidade

Def: Seja X uma variável discreta com Range={x1,x2,x3,...,xn}

Px(sk) = Pr{X=xk}

2.2 Variáveis Aleatórias Contínuas

X assumir incontáveis valores distintos em um intervalos ou numa união de intervalos disjuntos, então elas será contínua